Cómo saber si es mínimo local o global?

Al resolver problemas de optimización, es común encontrarse con puntos críticos en los que se desea determinar si son mínimos locales o globales. Saber identificar esta información es fundamental para tomar decisiones informadas. En este artículo, te mostraremos una guía paso a paso de cómo determinar si un punto crítico es un mínimo local o global, utilizando diferentes criterios y herramientas.

Pasos para determinar si es un mínimo local o global

1. Encuentra todos los puntos críticos

• Los puntos críticos son aquellos en los que la derivada de la función es cero o no existe.
• Para encontrar estos puntos, iguala la derivada de la función a cero y resuelve la ecuación resultante.
• También verifica aquellos puntos en los que la derivada no existe, como los puntos de discontinuidad o los puntos en los que la función se vuelve vertical.

2. Utiliza la segunda derivada para determinar la concavidad

• La segunda derivada de la función te dará información sobre la concavidad de la curva en los puntos críticos.
• Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, ese punto es un mínimo local.
• Si la segunda derivada es negativa en un punto crítico, ese punto es un máximo local.
• Si la segunda derivada es igual a cero en un punto crítico, ese punto puede ser un mínimo, un máximo o un punto de inflexión.

3. Comprueba con el criterio de la primera derivada

• El criterio de la primera derivada te ayudará a confirmar si un punto crítico es un mínimo local o máximo local.
• Si la derivada cambia de negativa a positiva en un punto crítico, ese punto es un mínimo local.
• Si la derivada cambia de positiva a negativa en un punto crítico, ese punto es un máximo local.

4. Evalúa en los extremos del dominio

• Para determinar si el punto es un mínimo global o máximo global, evalúa la función en los puntos extremos del dominio.
• Si el punto crítico tiene el valor más bajo en todo el dominio, entonces es un mínimo global. Si tiene el valor más alto, entonces es un máximo global.
• Si no hay puntos críticos en el dominio, evalúa la función en los extremos para determinar si hay mínimos o máximos.

Consideraciones adicionales

En caso de que el número de puntos críticos sea limitado, puedes evaluar cada punto y comparar los valores de la función para determinar cuál es mínimo y cuál es máximo. Sin embargo, cuando hay infinitos puntos críticos o el dominio es infinito, puede ser más complicado determinar si el punto es un mínimo global o máximo global.

En esos casos, puede ser necesario utilizar herramientas adicionales, como el teorema de Weierstrass o la inspección gráfica de la función. El teorema de Weierstrass establece que si una función es continua en un intervalo cerrado y acotado, entonces alcanzará un mínimo y un máximo en ese intervalo.

Esperamos que estos pasos te hayan sido útiles para determinar si un punto crítico es un mínimo local o global. Recuerda utilizar los criterios de la segunda y primera derivada, y en caso de duda, considera utilizar herramientas adicionales como el teorema de Weierstrass o la inspección gráfica.

Siempre es importante tomar decisiones informadas al analizar puntos críticos en problemas de optimización, y este conocimiento te será útil para ese propósito.

No dudes en aplicar estos pasos en tus problemas de optimización y aprovechar al máximo la información que te brindan los puntos críticos.